５．品質管理 ５−１１．計量値に関する検定と推定 ４）母分散未知の場合の母平均に関する検定と推定

計量値に関する検定と推定　 ４）母分散未知の場合の母平均に関する検定と推定

母分散が不明の場合は、ｎ個のサンプルの測定値から推定する。
σのかわりにs（あるいはV^0.5）を用いると次の統計量tは自由度（ｎ−１）のｔ分布をする。

t=(Xav-μ)/(s/n^0.5) あるいは(Xav-μ)/(V/n)^0.5

この式を用いて計算したｔの値を、自由度φ＝ｎ−１のｔ分布表から得られる限界値ｔ（φ、α）と比較して平均値が変わったかどうかの判定を行う。

 

例題 
チーズの成型箱詰め作業は従来手動で行われ、製品重量は平均252.0ｇ、標準偏差0.9gで安定していた。

最近自動成型に切り替えを行い、２０個のサンプルを抜き取ってその重量を測定したところ、下表のようになった。

 

自動化後の製品重量は、従来の平均重量と異なるといえるであろうか？ また自動化後の製品重量の母平均はいくらといえるか？

母平均に関する検定 
（１）仮説を立て有意水準を決める

 

（２）平均Xavおよび標準偏差ｓを求める 
　計算表

 

　よって平均Xavおよび標準偏差ｓは、それぞれ

 

（３）ｔ0を計算する

　t0=(Xav-μ0)/(s/n^0.5) ＝  -2.76498

 

（４）ｔ分布表より有意水準５％の限界値を求め、t0と比較する。

  ｔ（１９，０．０５）＝   2.093

   |t0|=2.765　＞　2.093

 従って、有意水準５％でＨ０は棄てられＨ１が採択される。
 すなわち自動化後の製品重量の平均は、手動当時と変わったといえる。

 

（５）母平均の推定

 Xav±t(φ,α)s/n^0.5
 信頼率９５％で区間推定値を求めると
  ｔ（１９，０．０５）＝   2.093　であるから、

 Xav−t(φ,α)s/n^0.5＝　251.52 −   2.093＊ 0.776361／20^0.5 =  251.16

 Xav+t(φ,α)s/n^0.5 ＝　251.52 +  2.093＊ 0.776361／20^0.5 =  251.88

 

信頼率９５％で自動化後の製品重量の母平均は、
251.16ｇ   〜    251.88ｇ
の間にある。

 

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